그냥 미분 방정식...

Nekoieye 2011. 7. 7. 01:27

위키 백과에서 있던 미분 방정식 예 입니다.
음... 테터툴즈 히스토리 즉, 티스토리에서도 이 수식 기능을 지원 했으면 좋겠습니다.
힘들겠지만...노가다 작업으로 완성할 수 있겠죠. ^^*
음 구성하는건 쉽겠지만, 구현 하는게 조금 힘들려나...;
제차 상미분 방정식

1차 제차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다.

$\frac{dy}{dx} + f(x) y = 0,$

여기서 $f (x)$ 는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다.

$\frac{dy}{y} = -f(x)\, dx$

위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다.

y = A e - F (x)

여기서

$F(x) = \int f(x)\,dx.$

$A$ 는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)

$f (x)$ 가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다.

1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다. 이와 같은 1차 비제차 상미분 방정식을 풀기 위해선 적분인자를 알아야 한다. 이 방법을 아래에 설명하고 있다.

1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.

$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$

이 방정식을 푸는 방법은 특별한 "적분 인자", $μ$ 에 달려있다.

$\mu = e^{\int_{}^{} p(x)\, dx}$

일반적인 1차 상미분 방정식의 양변에 $μ$ 를 곱하자.

$\mu{\frac{dy}{dx}} + \mu{p(x)y} = \mu{q(x)}$

우리가 선택한 특별한 $μ$ 의 성질에 의해 위 식은 다음과 같이 간단한 모양으로 변형된다.

$\mu{\frac{dy}{dx}} + y{\frac{d{\mu}}{dx}} = \mu{q(x)}$

미분에 대한 곱의 법칙에 의해 위 식은 다시 다음과 같이 변형된다.

$\frac{d}{dx}{(\mu{y})} = \mu{q(x)}$

양변은 적분하면,

$\mu{y} = \left(\int\mu q(x)\, dx\right) + C$

를 얻고, 마지막으로 $y$ 대해 풀고, $μ$ 로 양변을 나누면,

$y = \frac{\left(\int\mu q(x)\, dx\right) + C}{\mu}$

를 얻는다. ( $μ$ 는 x의 함수이므로 더이상 간단히 할 수는 없다.)